[高等代数] 关于周不通老师AX=XA文章中的一个问题!!!!

wade2008

引理：如果两个向量 a,b 关于A的极小多项式 p(x),q(x)互素，那么a+b 的极小多项式是 a,b的各自极小多项式乘积。
证明 由于p,q互素，存在多项式u，v，使得 up+vq=1,如果有向量 x ; 属于 Kerp(A),Kerq(A)交集,则有x=u(A)p(A)x+v(A)q(A)x=0。 所以 Kerp(A),Kerq(A)交集是0，注意这两个都是A-不变子空间，分别包含向量a，b。
如果多项式f(x)满足 f(A)(a+b)=0，那么 f(A)a=0,f(A)b=0，所以a，b的极小多项式整除f,所以a,b的极小多项式的乘积 p(x)q(x)也整除f(x)。 又因为p(x)q(x)零化 a+b，所以a+b的极小多项式就是p(x)q(x)。
请问由多项式f(x)满足 f(A)(a+b)=0，为什么得到： f(A)a=0,f(A)b=0.(???)

周不通

这里 a,b 各自生成的不变子空间是相交为0的，所以f(A)(a+b)=0有 f(A)a= - f(A)b 只能为0。

wade2008

回复 2# 周不通
谢谢，想了想，理解了。现在的论坛真是太冷清了，没有人讨论，想到老论坛里看看，现在又上不了了。。完全没有往日的辉煌。。。

wxsunhao

是啊，不知什么时候才能有往日的风采啊