[数学分析] 标题有关连续点与介值性

jiangjun7116

大家知道闭区间上连续函数有介值定理，故连续性是介值性的充分条件，但显然非必要条件。我们称定义在闭区间[a，b]上的函数f(x)满足介值性如果它满足：对任意a=<c<d<=b存在c<e<d使f(e)在f(c)与f(d)之间。问题：一，函数必有连续点么？二，若必有连续点，连续点形成的集合必是第二纲集么？注：自已问的，第一问都没做出来，望大家讨论一下，最好有人能解决，谢谢。

zh860626

你不是说“大家知道闭区间上连续函数有介值定理，故连续性是介值性的充分条件，但显然非必要条件"
那第一问显然是不一定有连续点啦。

jiangjun7116

有连续点与在闭区间上连续是不同的，一个是整体性的，一个是局部性的。

jiangjun7116

我说说我问问题的动机。闭区间上处处可导的函数其导函数不一定连续，自然会问导函数不连续点的个数问题，元始天尊告诉我说不连续点的个数的测度可以大于零。我猜测存在处处可导且其导函数几乎处处不连续的函数。我做了一个这样的函数并加以证明(证明对错有待考证)。若证明正确，则可变为如下命题：任给一第一纲集，存在处处可导但导函数不连续点恰为该第一纲集的函数。我在想其逆问题是否正确，联想到处处可导函数其导函数的介值性，于是有上面问题。若上面的问题正确，则处处可导函数就有了一大了解。

lijianing1989

回复 4# jiangjun7116


   我想过一点第一问，如果把介值性质稍微弱一点，不要求e在c和d之间的话，我想出了一个处处不连续但是有介值性质的例子。定义在[0,1]当x是有理数，函数值是1-x，当x是无理数，函数值是x，另外让0.5对应0   1对应0.5  。这样这个函数的值域就是区间[0,1], 且处处不连续

jiangjun7116

修改一下介值性的表述：对任意a=<c<d<=b对任意介于f(c)与f(d)之间的值e存在c<m<d使f(m)=e

jiangjun7116

回复五楼。谢谢。

jiangjun7116

回复五楼。谢谢。

jiangjun7116

注：修改后的介值性符合达布定理，故作此修改

jiangjun7116

大家怎么不给个建议呀，怎么下手？

jiangjun7116

大家怎么不给个建议呀，怎么下手？